2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學(xué)

參考公式：如果事件a、b互斥，那么如果事件a、b獨立，那么。

第ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、復(fù)數(shù)滿組（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為

(a)(b)(c)(d)

2、已知集合，則集合中元素的個數(shù)是

(a)1(b)3(c)5(d)9

3、已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，則

(a)-2(b)0(c)1(d)2

4、已知***柱的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為

(a)(b)(c)(d)

5、將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為

(a)(b)(c)(d)

6、在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線的斜率的最小值為

(a)2(b)1(c)(d)

7、給定兩個命題若是的必要不充分條件，則是的

(a)充分不必要條件(b)必要不充分條件(c)充要條件(d)既不充分也不必要條件

8、函數(shù)的圖象大致為

(a)(b)(c)(d)

9、過點作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為

(a)(b)(c)(d)

10、用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為

(a)243(b)252(c)261(d)279

11、拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點若在點處的切線平行于的一條漸近線，則

(a)(b)(c)(d)

12、設(shè)正實數(shù)滿足則當(dāng)取得最大值時，的最大值為

(a)0(b)1(c)(d)

第ⅱ卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13、執(zhí)行右圖所示的程序框圖，若輸入的值為0.25。

則輸出的的值為_______.

14、在區(qū)間上隨機取一個數(shù)。

使得成立的概率為______.

15、已知向量與的夾角為。

且若。

且，則實數(shù)的值為____________.

16、定義“正對數(shù)”：現(xiàn)有四個命題：

①若，則；

②若，則；

③若，則；

④若，則.

其中的真命題有__________.（寫出所有真命題的編號）

三、解答題：本大題共6小題，共74分.

17、（本小題滿分12分）

設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且.

（?。┣蟮闹?；

（ⅱ）求的值.

18、（本小題滿分12分）

如圖所示，在***錐中。

分別是

的中點，與交于點。

與交于點，連接.

（?。┣笞C：

（ⅱ）求二面角的余弦值。

19、（本小題滿分12分）

甲、乙兩支球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束。除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是。假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立。

（ⅰ）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率；

（ⅱ）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對方得1分。求乙隊得分的分布列和數(shù)學(xué)期望。

20、（本小題滿分12分）

設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且

（ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，且（為常數(shù)）。令，求數(shù)列的前項和。

21、（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

（ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間、最大值；

（ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個數(shù)。

22、（本小題滿分13分）

橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸

的直線被橢圓截得的線段長為1.

（?。┣髾E圓的方程；

（ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接。設(shè)的角平分線交

的長軸于點，求的取值范圍；

（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點。設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值.

理科數(shù)學(xué)試題參***

一、選擇題dcabbcadabdb

二、填空題3①③④

三、解答題

17、（?。┯捎嘞叶ɡ?，得。

又，所以，解得.

（ⅱ）在中。

由正弦定理得。

因為，所以為銳角.所以。

因此

18、（?。┳C明：因為分別是的中點。

所以，所以。

又，所以。

又，所以。

又，所以.

（ⅱ）解法一：在中。

所以，即。

因為，所以。

又，所以.

由（?。┲?，所以

又，所以。

同理可得所以為二面角的平面角.

設(shè)，連接。

在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得.

又為的重心，所以，同理.

在中，由余弦定理得。

即二面角的余弦值為.

解法二：在中，所以.

又，所以兩兩垂直.

以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為

軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)。

則,

所以

設(shè)平面的一個法向量為。

由，得取，得.

設(shè)平面的一個法向量為，由。

得取，得.

所以,

因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

19、（?。┯洝凹钻犚?：0勝利”為事件，“甲隊以3：1勝利”為事件，“甲隊以3：2勝利”為事件。

由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立。

故。

所以，甲隊以3：0勝利、以3：1勝利的概率都為，以3：2勝利的概率為.

（ⅱ）記“乙隊以3：2勝利”為事件，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立。

所以。

由題意，隨機變量的所有可能的取值為0，1，2，3。

又。

0123

所以的分布列為

因此

20、（?。┰O(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為.由得

解得因此.

（ⅱ）由題意知：

所以時。

故。

所以。

則。

兩式相減得

整理得

所以數(shù)列的前項和

21、解：（?。?，由，解得。

當(dāng)時，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。

最大值為.

（ⅱ）令.

（1）當(dāng)時，則。

所以.因為，所以

因此在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時，則。

所以.因為，所以.

又，所以，即，因此在上單調(diào)遞減.

綜合（1）（2）可知當(dāng)時。

當(dāng)，即時，沒有零點。

故關(guān)于的方程的根的個數(shù)為0；

當(dāng)，即時，只有一個零點。

故關(guān)于的方程的根的個數(shù)為1；當(dāng)，即時。

①當(dāng)時，由（?。┲?。

要使，只需使，即；

②當(dāng)時，由（ⅰ）知

要使，只需使，即；

所以時，有兩個零點，故關(guān)于的方程的根的個數(shù)為2.

綜上所述。

當(dāng)時，關(guān)于的方程的根的個數(shù)為0；

當(dāng)時，關(guān)于的方程的根的個數(shù)為1；

當(dāng)時，關(guān)于的方程的根的個數(shù)為2.

22、解:（?。┯捎?，將代入橢圓方程，得。

由題意知，即.又，所以.橢圓的方程為

（ⅱ）解法一：設(shè).又。

所以直線的方程分別為:

由題意知。

由于點在橢圓上，所以所以

因為。

可得.所以.因此.

解法二：設(shè)，當(dāng)時。

1當(dāng)時，直線的斜率不存在，易知或.

若，則直線的方程為.由題意得。

因為，所以.若,同理可得.

2當(dāng)時，設(shè)直線的方程分別為。

由題意知，所以。

因為并且。

所以。

即.

因為所以.

整理得，故.

綜合①②可得.當(dāng)時，同理可得.

綜上所述，的取值范圍是.

（ⅲ）設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立

整理得

由題意，即

又所以故。

由（ⅱ）知，所以。

因此為定值，這個定值為.