2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學(xué)

參考公式：如果事件a、b互斥，那么如果事件a、b獨(dú)立，那么。

第ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、復(fù)數(shù)滿組（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為

(a)(b)(c)(d)

2、已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是

(a)1(b)3(c)5(d)9

3、已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則

(a)-2(b)0(c)1(d)2

4、已知***柱的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為

(a)(b)(c)(d)

5、將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的一個(gè)可能取值為

(a)(b)(c)(d)

6、在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線的斜率的最小值為

(a)2(b)1(c)(d)

7、給定兩個(gè)命題若是的必要不充分條件，則是的

(a)充分不必要條件(b)必要不充分條件(c)充要條件(d)既不充分也不必要條件

8、函數(shù)的圖象大致為

(a)(b)(c)(d)

9、過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為

(a)(b)(c)(d)

10、用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

(a)243(b)252(c)261(d)279

11、拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則

(a)(b)(c)(d)

12、設(shè)正實(shí)數(shù)滿足則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為

(a)0(b)1(c)(d)

第ⅱ卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13、執(zhí)行右圖所示的程序框圖，若輸入的值為0.25。

則輸出的的值為_______.

14、在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)。

使得成立的概率為______.

15、已知向量與的夾角為。

且若。

且，則實(shí)數(shù)的值為____________.

16、定義“正對數(shù)”：現(xiàn)有四個(gè)命題：

①若，則；

②若，則；

③若，則；

④若，則.

其中的真命題有__________.（寫出所有真命題的編號）

三、解答題：本大題共6小題，共74分.

17、（本小題滿分12分）

設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且.

（?。┣蟮闹?；

（ⅱ）求的值.

18、（本小題滿分12分）

如圖所示，在***錐中。

分別是

的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)。

與交于點(diǎn)，連接.

（?。┣笞C：

（ⅱ）求二面角的余弦值。

19、（本小題滿分12分）

甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束。除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是。假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立。

（?。┓謩e求甲隊(duì)以3：0，3：1，3：2勝利的概率；

（ⅱ）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對方得1分。求乙隊(duì)得分的分布列和數(shù)學(xué)期望。

20、（本小題滿分12分）

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且

（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式；

（ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為常數(shù)）。令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

21、（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

（?。┣蟮膯握{(diào)區(qū)間、最大值；

（ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)。

22、（本小題滿分13分）

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸

的直線被橢圓截得的線段長為1.

（ⅰ）求橢圓的方程；

（ⅱ）點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接。設(shè)的角平分線交

的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍；

（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.

理科數(shù)學(xué)試題參***

一、選擇題dcabbcadabdb

二、填空題3①③④

三、解答題

17、（?。┯捎嘞叶ɡ?，得。

又，所以，解得.

（ⅱ）在中。

由正弦定理得。

因?yàn)椋詾殇J角.所以。

因此

18、（ⅰ）證明：因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)。

所以，所以。

又，所以。

又，所以。

又，所以.

（ⅱ）解法一：在中。

所以，即。

因?yàn)?，所以?/p>

又，所以.

由（?。┲?/p>

又，所以。

同理可得所以為二面角的平面角.

設(shè)，連接。

在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得.

又為的重心，所以，同理.

在中，由余弦定理得。

即二面角的余弦值為.

解法二：在中，所以.

又，所以兩兩垂直.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為

軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)。

則,

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為。

由，得取，得.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由。

得取，得.

所以,

因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.

19、（ⅰ）記“甲隊(duì)以3：0勝利”為事件，“甲隊(duì)以3：1勝利”為事件，“甲隊(duì)以3：2勝利”為事件。

由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立。

故。

所以，甲隊(duì)以3：0勝利、以3：1勝利的概率都為，以3：2勝利的概率為.

（ⅱ）記“乙隊(duì)以3：2勝利”為事件，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立。

所以。

由題意，隨機(jī)變量的所有可能的取值為0，1，2，3。

又。

0123

所以的分布列為

因此

20、（?。┰O(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為.由得

解得因此.

（ⅱ）由題意知：

所以時(shí)。

故。

所以。

則。

兩式相減得

整理得

所以數(shù)列的前項(xiàng)和

21、解：（?。?，由，解得。

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。

最大值為.

（ⅱ）令.

（1）當(dāng)時(shí)，則。

所以.因?yàn)?，所?/p>

因此在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，則。

所以.因?yàn)?，所?

又，所以，即，因此在上單調(diào)遞減.

綜合（1）（2）可知當(dāng)時(shí)。

當(dāng)，即時(shí)，沒有零點(diǎn)。

故關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)。

故關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)，即時(shí)。

①當(dāng)時(shí)，由（?。┲?。

要使，只需使，即；

②當(dāng)時(shí)，由（ⅰ）知

要使，只需使，即；

所以時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為2.

綜上所述。

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為2.

22、解:（?。┯捎冢瑢⒋霗E圓方程，得。

由題意知，即.又，所以.橢圓的方程為

（ⅱ）解法一：設(shè).又。

所以直線的方程分別為:

由題意知。

由于點(diǎn)在橢圓上，所以所以

因?yàn)椤?/p>

可得.所以.因此.

解法二：設(shè)，當(dāng)時(shí)。

1當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，易知或.

若，則直線的方程為.由題意得。

因?yàn)椋?若,同理可得.

2當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程分別為。

由題意知，所以。

因?yàn)椴⑶摇?/p>

所以。

即.

因?yàn)樗?

整理得，故.

綜合①②可得.當(dāng)時(shí)，同理可得.

綜上所述，的取值范圍是.

（ⅲ）設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立

整理得

由題意，即

又所以故。

由（ⅱ）知，所以。

因此為定值，這個(gè)定值為.