一、分式的基本性質(zhì)和概念

1、分式的概念

一般地，如果$A$，$B$表示兩個(gè)整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。

2、分式有意義的條件

分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0。即當(dāng)$B≠0$時(shí)，分式$\frac{A}{B}$才有意義。

3、分式的值為0的條件

當(dāng)分式的分子等于0，且分母不等于0時(shí)，分式的值為0，即當(dāng)$A=0$，且$B≠0$時(shí)，分式$\frac{A}{B}=0$。

4、分式的基本性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。

（2）約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

（3）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)約去它們的最大公約數(shù)，如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分。

（4）最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式。

（5）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

（6）通分法則：把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分，①先求各個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪與所有不同因式的積）。②再利用分式的基本性質(zhì)，用最簡(jiǎn)公分母除以原來(lái)各分母所得的商分別去乘原來(lái)分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式。③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分。

（7）最簡(jiǎn)公分母：各分式分母的所有因式的最高次冪的積，叫做最簡(jiǎn)公分母。

確定分式的最簡(jiǎn)公分母的步驟：

①取各分式的分母中系數(shù)的最小公倍數(shù)。

②各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到。

③相同字母（或因式）的冪取指數(shù)最大的。

④所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各字母（或因式）的最高次冪的積即為最簡(jiǎn)公分母。

二、分式的基本性質(zhì)的相關(guān)例題

下列分式中，最簡(jiǎn)分式為___

A．$\frac{x+1}{2x^2+4x+2}$

B．$\frac{x-2y}{x^2-4y^2}$

C．$\frac{x+3x^2}{x^2}$

D．$\frac{1-x}{2(x+1)}$

答案：D

解析：A．$\frac{x+1}{2x^2+4x+2}=\frac{x+1}{2(x+1)^2}=\frac{1}{2x+2}$，故原式不是最簡(jiǎn)分式，不合題意；B．$\frac{x-2y}{x^2-4y^2}=\frac{x-2y}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{1}{x+2y}$，故原式不是最簡(jiǎn)分式，不合題意；C．$\frac{x+3x^2}{x^2}=\frac{1+3x}{x}$，故原式不是最簡(jiǎn)分式，不合題意；D．$\frac{1-x}{2(x+1)}$是最簡(jiǎn)分式，符合題意。故選D。