2013年上海高考數(shù)學(xué)試題(文科)及試卷答案解析

2013年上海市高考數(shù)學(xué)試題（文科）及部分解析

一、填空題（本大題共有14題，滿(mǎn)分56分）

1．不等式的解為．（0,1/2）

2．在等差數(shù)列中，若，則．15

3．設(shè)，是純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則．

【解答】．

4．若，則．3

5．已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是，．若，則角的大小是（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

6．某學(xué)校高一年級(jí)男生人數(shù)占該年級(jí)學(xué)生人數(shù)的40%．在一次考試中，男、女生平均分?jǐn)?shù)分別為75、80，則這次考試該年級(jí)學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為．78

7．設(shè)常數(shù)．若的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為-10，則．

【解答】。

故．

8．方程的實(shí)數(shù)解為．

9．若，則．

10．已知圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面半徑為，是上地面圓心，、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線(xiàn)，如圖．若直線(xiàn)與所成角的大小為，則．

11．盒子中裝有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）．

【解答】7個(gè)數(shù)4個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為．

12．設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)在上，且．若，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為．

【解答】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得，得．

13．設(shè)常數(shù)，若對(duì)一切正實(shí)數(shù)成立，則的取值范圍為．

14．已知正方形的邊長(zhǎng)為1．記以為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、；以為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為、、．若且，則的最小值是．-2

二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分20分）

15．函數(shù)的反函數(shù)為，則的值是（）

（a）（b）（c）（d）

16．設(shè)常數(shù)，集合，．若，則的取值范圍為（）

（a）（b）（c）（d）

【解答】集合a討論后利用數(shù)軸可知，或，解答選項(xiàng)為b．

17．錢(qián)大姐常說(shuō)“好貨不便宜”，她這句話(huà)的意思是：“好貨”是“不便宜”的（a）

（a）充分條件（b）必要條件

（c）充分必要條件（d）既非充分又非必要條件

18．記橢圓圍成的區(qū)域（含邊界）為，當(dāng)點(diǎn)分別在上時(shí)，的最大值分別是，則（d）

暫無(wú)ab選項(xiàng)！c、2d、

三．解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分74分）

19．（本題滿(mǎn)分12分）

如圖，正***錐底面邊長(zhǎng)為，高為，求該***錐的體積及表面積．

【解答】

20．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題．第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．

甲廠(chǎng)以千米/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是元．

（1）求證：生產(chǎn)千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為；

（2）要使生產(chǎn)千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠(chǎng)應(yīng)該如何選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn)．

【解答】（1）每小時(shí)生產(chǎn)克產(chǎn)品，獲利。

生產(chǎn)千克該產(chǎn)品用時(shí)間為，所獲利潤(rùn)為.

（2）生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，所獲利潤(rùn)為

所以，最大利潤(rùn)為元。

21．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題．第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．

已知函數(shù)，其中常數(shù)．

（1）令，判斷函數(shù)的奇偶性并說(shuō)明理由；

（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再往上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像．對(duì)任意的，求在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值．

【解答】（1）

是非奇函數(shù)非偶函數(shù)。

∵，∴

∴函數(shù)是既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

（2）時(shí)。

其最小正周期

由，得。

∴，即

區(qū)間的長(zhǎng)度為10個(gè)周期。

若零點(diǎn)不在區(qū)間的端點(diǎn)，則每個(gè)周期有2個(gè)零點(diǎn)；

若零點(diǎn)在區(qū)間的端點(diǎn)，則僅在區(qū)間左或右端點(diǎn)處得一個(gè)區(qū)間含3個(gè)零點(diǎn)，其它區(qū)間仍是2個(gè)零點(diǎn)；

故當(dāng)時(shí)，21個(gè)，否則20個(gè)。

22．（本題滿(mǎn)分16分）本題共有3個(gè)小題．第1小題滿(mǎn)分3分，第2小題滿(mǎn)分5分，第3小題滿(mǎn)分8分．

已知函數(shù)．無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足．

（1）若，求。

（2）若，且，成等比數(shù)列，求的值；

（3）是否存在，使得，…，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說(shuō)明理由．

23．（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題．第1小題滿(mǎn)分3分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分9分．

如圖，已知雙曲線(xiàn)：曲線(xiàn)：．是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與、都有公共點(diǎn)，則稱(chēng)為“型點(diǎn)”．

（1）在正確證明的左焦點(diǎn)是“型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線(xiàn)，試寫(xiě)出一條這樣的直線(xiàn)的方程（不要求驗(yàn)證）；

（2）設(shè)直線(xiàn)與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“型點(diǎn)；

（3）求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”．