在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，希爾伯特空間是歐幾里德空間的一個(gè)推廣，其不再局限于有限維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是一個(gè)內(nèi)積空間，其上有距離和角的概念（及由此引伸而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個(gè)完備的空間，其上所有的柯西列等價(jià)于收斂列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基于任意正交系上的多項(xiàng)式表示的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數(shù)學(xué)和量子力學(xué)的關(guān)鍵性概念之一。

在一個(gè)復(fù)向量空間H上的給定的內(nèi)積 可以按照如下的方式導(dǎo)出一個(gè)范數(shù)（norm）：

此空間稱為是一個(gè)希爾伯特空間，如果其對(duì)于這個(gè)范數(shù)來說是完備的。這里的完備性是指，任何一個(gè)柯西列都收斂到此空間中的某個(gè)元素，即它們與某個(gè)元素的范數(shù)差的極限為0。任何一個(gè)希爾伯特空間都是巴拿赫空間，但是反之未必。

任何有限維內(nèi)積空間（如歐幾里德空間及其上的點(diǎn)積）都是希爾伯特空間。但從實(shí)際應(yīng)用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價(jià)值，例如

*酉群（unitary group）的表示論。

*平方可積的隨即過程理論。

*偏微分方程的希爾伯特空間理論，特別是狄利克雷問題。

*函數(shù)的譜分析及小波理論。

*量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述。

內(nèi)積可以幫助人們從“幾何的”觀點(diǎn)來研究希爾伯特空間，并使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓?fù)湎蛄靠臻g中，希爾伯特空間性質(zhì)最好，也最接近有限維空間的情形。

傅立葉分析的一個(gè)重要目的是將一個(gè)給定的函數(shù)表示成一族給定的基函數(shù)的和（可能是無窮和）。這個(gè)問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個(gè)希爾伯特空間都有一族標(biāo)準(zhǔn)正交基，而且每個(gè)希爾伯特空間中的元素都可以較早地表示為這族基中的元素或其倍數(shù)的和。